Dimostrare la congettura di Collatz

Un rompicapo molto noto nella teoria dei numeri e tuttora irrisolto. E' la congettura di Collatz, matematico tedesco che l'ha formulato nel 1937. Un nuovo teorema messo a punto con il contributo di un docente fiorentino si propone di dimostrarne la validità.
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Passi in avanti verso una dimostrazione della congettura di Lothar Collatz, un rompicapo molto noto di teoria dei numeri formulato nel 1937 e rimasto irrisolto. Duccio Fanelli, docente del Dipartimento di Fisica e Astronomia dell’Università di Firenze, e Timoteo Carletti, docente del Dipartimento di Matematica dell’Università di Namur in Belgio, hanno ottenuto un risultato recentemente pubblicato dal Bollettino dell’Unione Matematica Italiana (DOI 10.1007/s40574-017-0145-x) che si propone come tappa di avvicinamento verso la validazione di quanto ipotizzato dal matematico tedesco.

In cosa consiste la congettura di Collatz? “Prendiamo un qualsiasi numero intero – spiega Fanelli – se è pari lo dividiamo per due, se è dispari lo moltiplichiamo per tre e aggiungiamo una unità al risultato. Ripetendo questo algoritmo, dopo un certo numero di passi, si ottiene sempre 1. Si può inoltre osservare che la sequenza 1, 4, 2, 1 definisce un ciclo (1×3+1= 4; 4/2=2; 2/2=1). In linea di principio potrebbero esistere uno o più numeri interi (l’origine della sequenza) che sfuggono a questa congettura, anche se test numerici molto raffinati hanno escluso questa eventualità fino a numeri molto grandi”.

Fanelli e Carletti sono partiti dall’idea di rileggere le sequenze che si originano con l’algoritmo di Collatz raggruppando i numeri interi in classi di equivalenza modulo 8. “Immaginiamo di contare sugli interi: 1,2,3,… e di assegnare ogni numero a 8 diverse classi, veri e propri contenitori organizzati in successione – aggiunge Fanelli – Il numero 8 viene assegnato all’ottavo contenitore. Il 9 cade nel primo contenitore, il 10 nel secondo e così via fino al numero 16 che viene ospitato nell’ottavo contenitore. Con il numero 17 si comincia di nuovo dal primo contenitore e si procede così fino all’infinito”. Operando questa trasposizione gli studiosi hanno potuto dimostrare che la sequenza originata dall’applicazione della congettura di Collatz (detta “traiettoria”) è contraente e tende verso 1.

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“Adottare un sistema con otto contenitori di numeri, invece delle traiettorie originali – precisa lo studioso fiorentino – e’ legittimo a patto di osservare ogni serbatoio con un “microscopio” ad hoc, tarato sulla dinamica del sistema. Tuttavia la lente calibrata sulle 8 classi e’ molto sfocata, in quanto potrebbero esistere traiettorie particolari che sfuggono al comportamento medio del sistema. Abbiamo deciso perciò di generalizzare l’approccio aumentando progressivamente il numero di contenitori, al fine di migliorare l’accuratezza della misura”.  

“Da 8 contenitori – prosegue Fanelli– siamo passati a 64, poi a 512, e così a 4096, a 32768 aumentando il numero delle classi in potenze di 8. Lavorando in un certo senso con un microscopio più preciso abbiamo avuto non solo conferma del carattere contraente delle traiettorie medie, ma anche del fatto che il grado di contrazione resta inalterato indipendentemente dal numero di classi prese in esame nella dimostrazione”.

Le classi considerate formano una successione che tende all’infinito, per cui “quando i contenitori sono infiniti, esistono tante classi quanti sono i numeri interi – aggiunge Fanelli – A questo punto, però, il nostro microscopio non funziona più, anche se vede benissimo fino ad un istante prima di fotografare i singoli numeri interi”. In termini matematici il risultato non può essere esteso con continuità fino agli interi “ma  – conclude Fanelli –  l’aver dimostrato che su classi arbitrariamente piccole la contrazione ha luogo, senza essere influenzata dalla taratura dello strumento scelto, costituisce una prova significativa della validità della congettura”.

 


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